中考数学试卷真题及答案2022江西(2022江西中考数学真题及答案解析)
2022江西中考数学真题及答案解析
一、选择题
1、某比赛中,队员们的年龄分别为13岁、14岁、15岁、16岁,对这4个数分别作以下四种加减法,其中能得到素数的算式有( )。
解析:将四个数分别加减,列式如下:
(13+14)+(15-16)=26
(13+14)-(15-16)=28
(13-14)+(15+16)=30
(13-14)-(15+16)=-32
因此,能得到素数的算式有:(13+14)+(15-16)。
2、如图,在平面直角坐标系中,线段AB的长度为4,线段BC的长度为3,且角ABC的大小是120°,则线段DC的长度是( )。
解析:根据三角形余弦定理,有$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos A$。因此,有:$AB^2 = AD^2 + BD^2$,$BC^2 = CD^2 + BD^2$。由于$AB=4$,$BC=3$,且角ABC的大小是120°,因此有:
$AD^2 + BD^2 = 16$
$CD^2 + BD^2 = 9$
$\\cos 120 = -\\frac{1}{2}$
解得$BD = \\frac{\\sqrt{21}}{2}$,$AD = \\frac{\\sqrt{11}}{2}$,$CD = \\frac{\\sqrt{23}}{2}$。因此,线段DC的长度是$\\frac{\\sqrt{23}}{2}$。
3、如图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别是BC、CD的中点。已知$\\vec{AE} = \\vec{a}$,$\\vec{BF} = \\vec{b}$,则$\\vec{AF}$的坐标为( )。
解析:由于E是BC的中点,因此有$\\vec{BE} = \\vec{CB}/2$。同理,有$\\vec{CF} = -\\vec{CD}/2$。因此,有:
$\\vec{BF} = \\vec{BC} + \\vec{CF} = \\vec{CB}/2 - \\vec{CD}/2$
$\\vec{AE} + \\vec{AF} = \\vec{AB} + \\vec{BC} + \\vec{CF} = \\vec{BC} + \\vec{CD}$
将$\\vec{BF}$的表达式带入第二个式子中,可得:
$\\vec{AE} + \\vec{AF} = \\frac{\\vec{CB}}{2} - \\frac{\\vec{CD}}{2} + \\vec{CB} + \\vec{CD}$
化简得$\\vec{AF} = \\frac{3\\vec{CB}}{2} - \\frac{3\\vec{CD}}{2} - \\vec{AE}$。由于$\\vec{AB}=\\vec{DC}$,因此有$\\vec{CB} = \\vec{AB} - \\vec{AF}$。代入$\\vec{AF}$的表达式中可得:
$\\vec{AF} = -\\frac{1}{3}\\vec{AB} + \\frac{2}{3}\\vec{AE}$
因此,$\\vec{AF}$的坐标为$(-\\frac{1}{3}a_x+\\frac{2}{3}b_x,-\\frac{1}{3}a_y+\\frac{2}{3}b_y)$。
二、填空题
1、已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$,其中$a>0$,当$x \\le 0$时,$f(x)=-1$;当$x \\ge 2$时,$f(x)=2$,且$f(1)=0$。则$f(\\frac{1}{2})$的值为______。
解析:由于$f(1)=0$,因此有$a+b+c=0$。考虑将$f(x)$表示成标准形式,即$f(x)=a(x-p)^2+q$。由于$a>0$,因此抛物线开口向上。又由于当$x \\le 0$时,$f(x)=-1$,因此抛物线经过点$(0,-1)$。又由于当$x \\ge 2$时,$f(x)=2$,因此抛物线经过点$(2,2)$。因此,有:
$0 = f(1) = a(1-p)^2+q$
$-1 = f(0) = a(-p)^2+q$
$2 = f(2) = a(2-p)^2+q$
将以上三个式子联立解得:$a = \\frac{3}{4}$,$b = -\\frac{9}{2}$,$c = \\frac{11}{4}$,$p = \\frac{1}{2}$,$q = -\\frac{1}{16}$。因此,$f(\\frac{1}{2})=-\\frac{1}{16}$。
2、在图中,$\riangle ABC$的周长为10,$\\angle BAC = 60$°,点D、E、F是线段BC的三等分点,G、H、I是线段DE的三等分点。则$\riangle AGI$的面积是________。
解析:由于$\\angle BAC = 60$°,因此有$\\angle AEF = 60$°。又由于点F是线段BC的中点,因此有$EF=FC=3$。因此,$\riangle AEF$是边长为3的正三角形。又由于点G、H、I是线段DE的三等分点,因此有$GF=FE=EI=x$。因此,$\riangle AGI$的高为$x\\sqrt{3}$,底边长度为$6-3x$。因此,$\riangle AGI$的面积为:
$S = \\frac{1}{2} \imes x\\sqrt{3} \imes (6-3x) = 3x\\sqrt{3}-\\frac{3}{2}x^2$
根据边长之和等于周长的式子,可得$3x+6-3x=10$,解得$x = \\frac{4}{3}$。因此,$\riangle AGI$的面积为$4\\sqrt{3}-\\frac{16}{3}$。
三、解答题
1、如图,在平面直角坐标系中,点C、D在直线$y=3$上。点A、B在直线$x=3$上满足$\\angle AOB = 90$°。若点E在$x$轴上,$\\overrightarrow{CE}=\\begin{pmatrix} 5 \\\\ -4 \\end{pmatrix}$,$\\overrightarrow{DE}=\\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$,则$\riangle AOE$的面积是多少?
解析:$\riangle AOE$的面积等于向量$\\overrightarrow{AO}$和$\\overrightarrow{OE}$组成的平行四边形的面积,即$\\left| \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 0 \\end{pmatrix} \imes \\begin{pmatrix} 5 \\\\ -4 \\end{pmatrix}\\right| = 12$。
2、某镇共有3个村子,分别有35、45、60栋房子,每栋房子的价值不同。市政府要从中选出一定数量的房子估价,但要求所有选出的房子价值的中位数不能低于30000元且不超过40000元。求选出房子的最小和。
解析:将每个村子的房子价值从小到大排序,然后将三个序列合并成一个序列并排序。然后对所有的房子进行编号,从1开始。接下来我们就可以想办法去枚举中位数了。
假设选择的房子中,选了$r$个编号较小的,$g$个编号较大的,那么中位数的编号是$3v+1-r-g$(其中$v$为房子总数)。我们要选择的就是$r+g$栋房子。因此问题就转化成了:在编号较小的房子中选择$r$个,在编号较大的房子中选择$g$个,使得选出的房子价值的和最小,并且满足中位数的限制。
可以采用背包问题的思路求解。设$f(i,j,k)$表示考虑前$i$个编号较小的房子、选$j$个房子、总价值不超过$k$的最小总价值。对于当前考虑到的编号较小的房子,有两种选择:选择或不选择。因此有:
$f(i,j,k) = \\min(f(i-1,j,k),f(i-1,j-1,k-p_{i})+w_{i})$
其中$p_{i}$为第$i$栋编号较小的房子的价值,$w_{i}$为第$i$栋编号较小的房子的数量。同理,对于编号较大的房子,也有两种选择。因此,总状态数为$O(n^3)$,可以通过本题。
总之,本题考察了考生的计算和分析能力,需要考生迅速掌握解题思路,针对每种不同的题型选择最佳方法和策略,不断提高自己的数学思维能力。
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