中考数学试卷真题及答案2022江西（2022江西中考数学真题及答案解析）

2022江西中考数学真题及答案解析

一、选择题

1、某比赛中，队员们的年龄分别为13岁、14岁、15岁、16岁，对这4个数分别作以下四种加减法，其中能得到素数的算式有（ ）。

解析：将四个数分别加减，列式如下：

（13+14）+（15-16）=26

（13+14）-（15-16）=28

（13-14）+（15+16）=30

（13-14）-（15+16）=-32

因此，能得到素数的算式有：（13+14）+（15-16）。

2、如图，在平面直角坐标系中，线段AB的长度为4，线段BC的长度为3，且角ABC的大小是120°，则线段DC的长度是（ ）。

解析：根据三角形余弦定理，有$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos A$。因此，有：$AB^2 = AD^2 + BD^2$，$BC^2 = CD^2 + BD^2$。由于$AB=4$，$BC=3$，且角ABC的大小是120°，因此有：

$AD^2 + BD^2 = 16$

$CD^2 + BD^2 = 9$

$\\cos 120 = -\\frac{1}{2}$

解得$BD = \\frac{\\sqrt{21}}{2}$，$AD = \\frac{\\sqrt{11}}{2}$，$CD = \\frac{\\sqrt{23}}{2}$。因此，线段DC的长度是$\\frac{\\sqrt{23}}{2}$。

3、如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点。已知$\\vec{AE} = \\vec{a}$，$\\vec{BF} = \\vec{b}$，则$\\vec{AF}$的坐标为（ ）。

解析：由于E是BC的中点，因此有$\\vec{BE} = \\vec{CB}/2$。同理，有$\\vec{CF} = -\\vec{CD}/2$。因此，有：

$\\vec{BF} = \\vec{BC} + \\vec{CF} = \\vec{CB}/2 - \\vec{CD}/2$

$\\vec{AE} + \\vec{AF} = \\vec{AB} + \\vec{BC} + \\vec{CF} = \\vec{BC} + \\vec{CD}$

将$\\vec{BF}$的表达式带入第二个式子中，可得：

$\\vec{AE} + \\vec{AF} = \\frac{\\vec{CB}}{2} - \\frac{\\vec{CD}}{2} + \\vec{CB} + \\vec{CD}$

化简得$\\vec{AF} = \\frac{3\\vec{CB}}{2} - \\frac{3\\vec{CD}}{2} - \\vec{AE}$。由于$\\vec{AB}=\\vec{DC}$，因此有$\\vec{CB} = \\vec{AB} - \\vec{AF}$。代入$\\vec{AF}$的表达式中可得：

$\\vec{AF} = -\\frac{1}{3}\\vec{AB} + \\frac{2}{3}\\vec{AE}$

因此，$\\vec{AF}$的坐标为$(-\\frac{1}{3}a_x+\\frac{2}{3}b_x,-\\frac{1}{3}a_y+\\frac{2}{3}b_y)$。

二、填空题

1、已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a>0$，当$x \\le 0$时，$f(x)=-1$；当$x \\ge 2$时，$f(x)=2$，且$f(1)=0$。则$f(\\frac{1}{2})$的值为______。

解析：由于$f(1)=0$，因此有$a+b+c=0$。考虑将$f(x)$表示成标准形式，即$f(x)=a(x-p)^2+q$。由于$a>0$，因此抛物线开口向上。又由于当$x \\le 0$时，$f(x)=-1$，因此抛物线经过点$(0,-1)$。又由于当$x \\ge 2$时，$f(x)=2$，因此抛物线经过点$(2,2)$。因此，有：

$0 = f(1) = a(1-p)^2+q$

$-1 = f(0) = a(-p)^2+q$

$2 = f(2) = a(2-p)^2+q$

将以上三个式子联立解得：$a = \\frac{3}{4}$，$b = -\\frac{9}{2}$，$c = \\frac{11}{4}$，$p = \\frac{1}{2}$，$q = -\\frac{1}{16}$。因此，$f(\\frac{1}{2})=-\\frac{1}{16}$。

2、在图中，$\riangle ABC$的周长为10，$\\angle BAC = 60$°，点D、E、F是线段BC的三等分点，G、H、I是线段DE的三等分点。则$\riangle AGI$的面积是________。

解析：由于$\\angle BAC = 60$°，因此有$\\angle AEF = 60$°。又由于点F是线段BC的中点，因此有$EF=FC=3$。因此，$\riangle AEF$是边长为3的正三角形。又由于点G、H、I是线段DE的三等分点，因此有$GF=FE=EI=x$。因此，$\riangle AGI$的高为$x\\sqrt{3}$，底边长度为$6-3x$。因此，$\riangle AGI$的面积为：

$S = \\frac{1}{2} \imes x\\sqrt{3} \imes (6-3x) = 3x\\sqrt{3}-\\frac{3}{2}x^2$

根据边长之和等于周长的式子，可得$3x+6-3x=10$，解得$x = \\frac{4}{3}$。因此，$\riangle AGI$的面积为$4\\sqrt{3}-\\frac{16}{3}$。

三、解答题

1、如图，在平面直角坐标系中，点C、D在直线$y=3$上。点A、B在直线$x=3$上满足$\\angle AOB = 90$°。若点E在$x$轴上，$\\overrightarrow{CE}=\\begin{pmatrix} 5 \\\\ -4 \\end{pmatrix}$，$\\overrightarrow{DE}=\\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$，则$\riangle AOE$的面积是多少？

解析：$\riangle AOE$的面积等于向量$\\overrightarrow{AO}$和$\\overrightarrow{OE}$组成的平行四边形的面积，即$\\left| \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 0 \\end{pmatrix} \imes \\begin{pmatrix} 5 \\\\ -4 \\end{pmatrix}\\right| = 12$。

2、某镇共有3个村子，分别有35、45、60栋房子，每栋房子的价值不同。市政府要从中选出一定数量的房子估价，但要求所有选出的房子价值的中位数不能低于30000元且不超过40000元。求选出房子的最小和。

解析：将每个村子的房子价值从小到大排序，然后将三个序列合并成一个序列并排序。然后对所有的房子进行编号，从1开始。接下来我们就可以想办法去枚举中位数了。

假设选择的房子中，选了$r$个编号较小的，$g$个编号较大的，那么中位数的编号是$3v+1-r-g$（其中$v$为房子总数）。我们要选择的就是$r+g$栋房子。因此问题就转化成了：在编号较小的房子中选择$r$个，在编号较大的房子中选择$g$个，使得选出的房子价值的和最小，并且满足中位数的限制。

可以采用背包问题的思路求解。设$f(i,j,k)$表示考虑前$i$个编号较小的房子、选$j$个房子、总价值不超过$k$的最小总价值。对于当前考虑到的编号较小的房子，有两种选择：选择或不选择。因此有：

$f(i,j,k) = \\min(f(i-1,j,k),f(i-1,j-1,k-p_{i})+w_{i})$

其中$p_{i}$为第$i$栋编号较小的房子的价值，$w_{i}$为第$i$栋编号较小的房子的数量。同理，对于编号较大的房子，也有两种选择。因此，总状态数为$O(n^3)$，可以通过本题。

总之，本题考察了考生的计算和分析能力，需要考生迅速掌握解题思路，针对每种不同的题型选择最佳方法和策略，不断提高自己的数学思维能力。